Algorithmische Methoden: Zahlen, Vektoren, Polynome by Phillipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

By Phillipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

Das Lehrbuch diskutiert g?ngige Fragen der research und linearen Algebra und verwendet f?r die rechnergest?tzten Antworten die software program Matlab und Mathematica. Es stellt mathematische Standard-Algorithmen im element vor und zeigt deren Umsetzung in die Programme. Zus?tzlich erl?utert es, wie deren Funktionen Probleme l?sen. Die Inhalte sind nach Datentypen (Polynome, reelle Funktionen, Matrizen) gegliedert. Im Vordergrund: die Objekte am Rechner, Grundoperationen an diesen Objekten und typische Fragen. Mit Algorithmen in Pseudocode. Plus zum obtain: Programme f?r Mathematica und Matlab, alle Beispiele, Grafiken, interaktive Elemente.

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Wohl in keinem anderen institutionellen Bereich als dem der Erziehung und Bildung steht der Aufwand an Planung, steht der Umfang der Erlasse, P- gramme, Vorschriften, Maßnahmen und Verfahren in einem so krassen Geg- satz zu dem, was once guy über die Resultate dieses an Regeln orientierten, int- aktiven Handelns weiß.

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Der Faktor C' Ä' , mit dem '˜ den maximalen Rundungsfehler u verstärken kann, ist also durch C Ä + C Ä Ä beschränkt. Andernfalls besteht 44 Wir nehmen zusätzlich an, dass ˜ (˜ j y ) = 0 für alle j = 1, . . ,m und y˜ in einer hinreichend großen Umgebung um (x) gilt. 4 Eigenschaften von Algorithmen 41 die Gefahr, dass es bei der Ausführung des Algorithmus in Gleitkommaarithmetik zu Verstärkungen des Rundungsfehlers jenseits jeglichen Stabilitätsempfindens kommt. Fortsetzung. 69) resultierenden Gleitkommarealisierung '˜ = ˜ ◦ ˜ .

Zu gegebenem x ∈ R beschreibt der Ausdruck o(f (˜x )) für x˜ → x eine Funktion g : R → R, für die lim x˜ →x 27 Bezeichnung g(˜x) =0 f (˜x) gilt. Dafür verwendet man die Schreibweise g(˜x) = o(f (˜x )) für x˜ → x. Intuitiv beschreibt o(f (˜x)) für x˜ → x eine nicht näher spezifizierte Funktion, die in der Nähe von x viel kleiner als f ist. Wegen limx→0 3x˜ + x˜ 2 = 0 gilt ˜ 3x˜ 2 + x˜ 3 = o(˜x ) Beispiel für x˜ → 0. Bei Vorliegen von Ausdrücken für den Resultatsfehler ' (˜x ) − ' (x) oder auch von Abschätzungen für dessen Betrag |' (˜x) − ' (x)| erlaubt diese Landau-Notation eine kompakte Darstellung.

Wir betrachten zunächst das Problem der Subtraktion zweier reeller Zahlen, also ' (x1 ,x2) = x1 − x2. 50) folgt, dass für die relative Konditionszahl sowohl bzgl. der Euklidschen als auch der Maximumsnorm jedenfalls Ärel ≥ 1 gilt. 21) die Abschätzung |'˜ (˜x1,x˜ 2) − ' (˜x1 ,x˜ 2)| ≤ u ≤ Ärel u. 64) stabil im Sinne der normweisen Vorwärtsanalyse mit Stabilitätszahl CV = 1. 66) |x1 − x2| folgt. 65) mit CV,komp · Ärel,komp ≤ 1. 67) Die Gleitkommarealisierung der Subtraktion ist somit stets vorwärtsstabil, auch in Situationen, in denen das Problem der Subtraktion infolge der Auslöschung schlecht konditioniert ist.

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